Проценты
- Дата публикации:
- Автор:
- Ечкова Ирина Викторовна
ПРОЦЕНТЫ.
1. Процент – сотая часть числа.
2. Чтобы найти р% от всего числа, надо всё число умножить на 0.01р.
3. Чтобы найти всё число по его р% процентам, надо известное число разделить на 0.01р.
4. Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого, надо одно число разделить на другое и умножить на 100%.
Задача 1.
Кофе при жарке теряет 12% своей массы. Сколько свежего кофе надо взять, чтобы получить 14.08 кг. жареного кофе?
Решение:
14.08:0.88=16(кг.) – свежего кофе.
Ответ: 16 кг.
Задача 2.
Сколько процентов соли содержится в растворе, если в 200г. раствора содержится 150г. воды?
Решение:
-
200-150=50(г.) – соли
-
50*100%=25% - соли
200
Ответ: 25%
Задача 3.
Трава при сушке теряет 85% своей массы. Сколько сена получится из 60кг. свежей травы?
Решение:
60*0.85=9(кг.)
Ответ: 9кг.
Задача 4.
На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличить на 30%, а другое - на 20%?
Решение:
Пусть Х – 1 число, а У – второе число.
1.3Х – 1 увеличенное число
1.2 – 2 увеличенное число
1.3Х*1.2У*100%=156%
ХУ
Ответ: на 56%
II
Задачи на прямую и обратную пропорциональность.
Задача 5
К 20кг. 12%-раствора соли добавили 3кг. соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не изменилась.
1) 0.12*20=2.4(кг.) – масса соли в первоначальном растворе
2) 2.4+3=5.4(кг.) – масса соли в полученном растворе
Пусть Х(л.) воды требуется долить.
Запишем пропорцию:
20+Х=5.4
20 2.4
2.4(20+Х)=5.4*20
48+2.4х=108
2.4х=60
х=25(кг.)
Ответ: 25(кг.)
Задача 6
Сколько граммов надо добавить к 100г. 30-% соляной кислоты, чтобы получить 10%-кислоту?
Решение:
-
100*0.3=30(г.) – соли в соляной кислоте
Пусть х(г.) надо добавить воды
2) 100-30=70(г.) - воды
30=1
100+х 10
100+х=300
х=200(г.) – надо добавить.
Ответ: 200г.
Задача 7
Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0.5 т. целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?
Решение:
Пусть масса выпаренной воды равна х кг.
15х=10(500-х)
15х=5000-10х
25х=5000
х=200кг.
Ответ: 200кг.
Задача 8
Из 38 тонн сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после переработки получается 30 тонн сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?
Решение:
Пусть х% приходится на чистое вещество в сырье первого сорта
(38-30)*75=(х-75)*30
8*75=30х-2250
30х=2850
х=2850:30
х=95% - чистого вещества
100-95=5% - примесей
Ответ:5%
III
Задачи на смеси и сплавы
Задача 9
В 2 литра 10% раствора уксусной кислоты добавили 8 литров чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе
Решение:
2 – 100%
Воды – 1,8л.
Кислота – 0,2л.
После добавления воды стало 9,8л. Воды, поэтому процентное содержание
(0,2\(0,2+9,8))*100%=2%
Ответ: 2%.
Задача 10
К раствору, содержащему 39г. соли, добавили 1л. воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе.
Решение:
Пусть Х – первоначальный вес раствора в граммах. Тогда 39/Х-39/Х+1000=1/10. Поэтому Х2+1000Х-390000=0; Х1=-1300<0; Х2=300; 39/300*100%=13%
Ответ: 13%.
Задача 11
Сплав олова с медью весом 12кг. Содержит 45% меди. Сколько чистого олова нужно добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди.
Решение:
Состав содержит 0,45*12кг.=5,4кг. Меди. После добавления Хкг. Олова вес сплава станет равным (Х+12)кг., а процентное содержание меди равным 5,4/Х+12*100, откуда получаем уравнение 5,4/Х+12*100=40, т.е. Х=1,5.
Ответ: 1,5кг.
Задача 12
Имеются 2 слитка, содержащие медь. Масса 2 слитка на 3кг. Больше, чем масса 1 слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%; во втором – 40%. После сплавливания этих двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором – 30%. Определить массу полученного слитка.
:
Решение:
Пусть Х – масса первого слитка. Тогда масса второго – (Х+3)кг. В первом слитке 0,1Х меди, а во втором 0,4(Х+3)
Уравнение:
0,1Х+0,4(Х+3)/Х+Х+3=0,3
Х=3
2Х+3=9кг.
Ответ: 9кг.
IV
Задачи на сложные проценты
Задача 13
Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.
Рассчитаем будущую стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17% годовых.
FV = 20000 * (1 + 0,17)3 = 32032 рубля.
Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.
Задача 14
Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10 000 рублей нарастились до 30 000 рублей, за срок вклада 5 лет?
Преобразуем формулу к следующему виду:
r = (FV / PV)1/n - 1 и подставим значения;
r = (30 000 / 10 000)1/5 - 1;
r = 0,24573 или 24,573 %.
Ответ. 10 000 рублей нарастятся до 30 000 рублей за 5 лет при ставке ссудного процента 24,573% .
IV
Проценты в жизненных ситуациях
Задача 15
Цену товара повышали: первый раз на р%, затем новую цену повысили на 2р%. После этого цену товара снизили на 15%. В итоге окончательная цена оказалась выше первоначальной на 12.2%. На сколько процентов была повышена цена товара в первый раз?
Решение:
Пусть исходная цена товара была А.
А1=А*(1+р/100) – цена после 1-го повышения
А2=А1*(1+2р/100)=А(1+р/100)(1+2р/100) – цена после 2-го повышения
0.85*А(1+р/100)(1+2р/100) – цена после понижения на 15%
В задаче известно, что цена оказалась равной 1.122*А
Уравнение:
0.85*А(1+р/100)(1+2р/100)=1.122А
(1+р/100)(1+2р/100)=1.32
(1+0.01р)(1+0.02р)=1.32
1+0.03р+0.0001*2р2-1.32=0
2*(0.01р)2+3*0.1р-0.32=0
Введём замену 0.01р=t
2t2+3t-0.32=0
D=9+4*2*0.32=11.56, корень из D=3.4
T1=-3+3.4/4=0.4/4=0.1
T2=-3-3.4/4=-1.6
Обратная замена
0.01р=а1 0.01р=-1.6
р=10% р=-160 – не подходит к условию задачи
Ответ: на 10% повысили в первый раз
Задача 16
После ведения санитарной обработки на базе отдыха количество мух уменьшилось на 9%, а количество комаров – на 4%. В целом количество насекомых уменьшилось на 5%. Сколько процентов от общего числа насекомых составляли комары?
Решение:
Пусть х – было мух, у- было комаров.
0.91х – стало мух после обработки.
0.96у – стало комаров после обработки
0.95(х+у) – стало насекомых после обработки.
Уравнение:
0.91х+0.96у=0.95(х+у)
0.91х+0.96у=0.95х+0.95у
0.96у-0.95у=0.95х-0.91х
0.01у=0.04х
у=4х – следовательно, комаров 80 % от общего числа насекомых
Ответ: 80%
Задача 17
Водитель проехал первые 40% пути со скоростью, на 20% меньше запланированной. На сколько процентов он должен увеличить свою фактическую скорость на оставшемся участке пути, чтобы в итоге весь путь был пройден за 3.125% быстрее чем планировалось?
Решение:
Пусть х – весь путь, а у – запланированная скорость, р% - процент увеличения скорости.
0.4х/0.8у – время на первом участке
0.6х/0.8+0.01р*0.8у – время второго участка
0.4х+0.6х = 31х
0.8у 0.8у+0.008р*у 32у
х+ 3х =31х*32у
2у 4у(1+0.001р)
16+24/1+0.001р=31
24/1+0.001р=15
15+0.001р=24
0.001р=9
р=60%
Ответ: 60%
Задача №18
Банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна 100 000 рублей. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов?
Решение: при простом процентном росте через 5 лет сумма составит
(1 + 0,01?12?5)?100 000 = 160 000 рублей,
а при сложном процентом росте сумма составит
(1 + 0,01?12)5?100 000 = 196 941 рублей.
Ответ: а) 160 000 рублей; б) 196 941 рублей.
Задача № 19
Банк начисляет сложные проценты по ставке 25% годовых. Через сколько лет вклад 216 000 рублей возрастет до 421 875 рублей?
Решение: воспользуемся формулой сложного процентного роста
Sn = S0? (1 + 0,01p) n
Найдем из формулы n: 421 875 = 216 000 ? (1 + 0,25)n, и отсюда
, , n = 3.
Ответ: через 3 года.
Задача № 20
Какую сумму должна иметь семья в наличии, чтобы получить жильё путем вступления в жилищный накопительный кооператив, если первоначальный взнос составляет от 30 до 50% от необходимой суммы стоимости жилья, а квартира стоит 1 200 000 рублей.
Решение: если взнос составит 30 % от стоимости квартиры:
1 200 000 ? 0,3 = 360 000 рублей;
если взнос составит 50 % от стоимости квартиры:
1 200 000 ? 0,5= 600 000 рублей.
Ответ: 360 000 рублей; 600 000 рублей.
Задача № 21
Клиент хочет купить квартиру, стоимость которой 1 300 000 рублей. Эту квартиру одобрил банк. Независимый оценщик может определить её рыночную стоимость, которая будет оплачиваться от той, которую определил продавец. Допустим, оценщик оценил её в 100 000 рублей. На какую сумму может рассчитывать клиент, если банк предоставляет ипотечный кредит 70% от оценочной стоимости квартиры. (700 000 рублей)
Сколько всего заплатит клиент банку через 10 и 15 лет под 16 % годовых, равномерно погашая кредит с уплатой процентов на остаток задолженности?
Решение: используем формулу
Sn = So(1 + 0,01pn ) - 0,5 (0,01p ? So (n – 1)),
10 лет:
S = 700 000 (1 + 0,01?16 ? 10) - 0,5 (0,01?16 ? 700 000 ?9) = 1 316 000 рублей;
15 лет:
S = 700 000 (1 + 0,01?16 ? 15) - 0,5 (0,01?16 ? 700 000 ?14) = 1 596 000 рублей.
Ответ: через 10 лет клиент заплатит банку 1 316 000 рублей; через 15 лет – 1 596 000 рублей.
Задача № 22
Банк выдал клиенту ипотечный кредит под 16 % годовых в сумме 700 000 рублей на 10 (15) лет. Какую сумму заплатит клиент банку за пользование кредитом? (616 000, 896 000 рублей)
Задача № 23
Какую сумму должен будет отдать клиент страховой компании, если та берет 1,5% от суммы кредита за каждый оставшийся год, если клиент взял 800000 рублей на 4 года?
Решение: можно воспользоваться формулой (1)
Sn = So(1 + 0,01pn ) - 0,5 (0,01p ? So (n – 1)),
Найдем, какая сумма будет через 4 года вместе сол страховыми взносами
Sn = 800 000(1 + 0,01?1,5?4 ) - 0,5 (0,01 ?1,5 ? 800 000?3)=830 000,
Найдем, какую сумму отдаст клиент страховой компании за 4 года
830 000 – 800 000 = 30 000.