Дата публикации:

14.07.2015 06:07:23

Автор:

Варнек Татьяна Викторовна

Цель: Повторить основные понятия и теоремы теории вероятности и    

            комбинаторики, необходимые при подготовке е ЕГЭ.

            Отработать решение задач.

1. . Организационный момент.

               Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.

Слово "азарт", под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего "случай", "риск". Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.

Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости.

Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено. что при многократном бросании однородного кубика, все шесть граней которой отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очков от 1 до 6 выпадают в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числа случаев, благоприятствующих событию к общему числу всех случаев). Аналогично вероятность появления на верхней грани кости чётного числа очков равна 3/6, так как из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх.

Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюда не следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки.

На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в 16в. В 16-17вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространились во многих европейских странах.

Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности. Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге "О расчётах в азартной игре" (1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: "...при - внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной". Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие а трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др. Понятие математического ожидания находит немало применений а разных других областях человеческой деятельности.

Таким образом, в 60-е годы 17в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей. В последующие два века учёные столкнулись с множеством новых задач, связанных с исследованием случайных явлений.

Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

При проведении занятия доска делится на колонки, каждая из которых соответствует одному из модулей тренинга. По ходу повторения теории в колонки записываются основные формулы раздела и примеры решения задач по данному модулю. 

1. . Повторение теоретического материала.

1. Классическое определение вероятности.

События называют случайными, если заранее нельзя предугадать

их результаты или исход.

Вероятностью случайного события А называют отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в полную группу событий.

Обозначение: Р(А).

Число событий, благоприятствующих событию А, обозначается m, а число событий в полной группе событий – n, тогда по определению имеем Р(А) = m/n

Решая такие задачи, нужно придерживаться общей схемы.

1. Определить, в чём состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они возможны.
2. Найти общее число элементарных событий N.
3. Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число N(A). (Событие можно обозначить любой буквой)
4. Найти вероятность события А по формуле Р(А) = N(A)/N.

Примеры:

Какова вероятность выпадения чётного числа при однократном бросании игрального кубика?

Решение:

Обозначим событие «выпадение чётной цифры» буквой А. Всего элементарных событий n = 6; элементарных событий, благоприятствующих событию А m = 3. По формуле: Р(А) = m/n = 3/6 = 1/2 = 0.5

Ответ: 0.5

1. Сложение и умножение вероятностей.

Событие называют противоположным событию А, если оно происходит только тогда, когда не происходит событие А. Обозначается 

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании

Они не могут произойти одновременно, т.е. наступление одного из них

исключает наступление  другого.

Теорема о сумме вероятностей

Если событие С означает, что наступает одно из двух

 несовместных событий А или В, то вероятность события С

равна сумме вероятностей событий А и В.

Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n x m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.

Графы

Нередко подсчёт вариантов облегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых рёбрами графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей, числовых и буквенных кодов и т. п.), а с помощью рёбер – определённые связи между этими элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины-точки могут быть заменены, например, кругами или прямоугольниками, а рёбра-отрезки – любыми линиями.

Задача 4. В ящике имеется 3 одинаковых по размеру кубика: красный (к), чёрный (ч) и белый (б). Вытаскивая их наугад, кладём 3 кубика на стол последовательно один за другим. Какова вероятность того, что появится последовательность кубиков «ч б к»?

Решение: общее число n исходов расстановки в ряд вынутых из ящика 3 кубиков равно числу перестановок из 3 элементов: n = 6. Только один из этих исходов является благоприятствующим событию «ч б к», т. е. m = 1. Таким образом, вероятность интересующего нас события  P = 1/6.

Элементы комбинаторики при решении  вероятностных задач.

Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.                                          

Размещением  из  n элементов по k (k?n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из nэлементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

III .  Решение задач

 После повторения теории и рассмотрения примеров,  класс делится на 4 группы. Всем группам раздаются одинаковые  листы с задачами по модулям. Каждой группе предлагается решить  по 1 задаче из  каждого модуля  на соответствующем поле доски ( выходит 1 ученик от каждой группы и решает одну  задачу,  затем  ученики у доски  меняются местами и решают следующую, из другого модуля). Проверка осуществляется учителем и учениками этой группы. Другие группы слушают объяснение и записывают решения.

Самые сложные задания разбираются совместно.

По окончании тренинга подводятся его итоги.

Домашнее задание: решить  по  задаче из каждого модуля,

не рассмотренные в классе.

Литература:

1.Учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 и 11 классы, профильный уровень, А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов, издательство «Мнемозина» 2009г.

2.Учебное пособие «Элементы статистики и вероятность», М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, издательство «Просвещение», 2005г.

3. Открытый банк заданий  ЕГЭ, сайт www.mathege.ru

4. сайт подготовки к ЕГЭ www.shpargalkaege.ru