«Решение заданий С2 координатно-векторным методом».
- Дата публикации:
- Автор:
- Ворожбитова Анна Юрьевна
Тема: «Решение заданий С2 координатно-векторным методом».
I.Основные формулы:
1.Расстояние между точками А( , ),В , ) равно = .
2.Угол между плоскостями. Если ?-угол между плоскостями, заданными уравнениями х+ z+ =0 и х+ z+ =0, то
.
3.Расстояние от точки до плоскости. Если ?- расстояние от точки ( , ), до плоскости х+ z+D =0,то
?= .
4.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ( , ), ( , ), ( , ), в координатной форме:
=0;
5. Если отрезок, концами которого служат точки А( , ),В , ) разделен точкой С(х, у, ) в отношении ?, то координаты точки С определяются по формулам
Х = ; у= ; z= .
II. Координаты вершин многогранников.
Определите координаты вершин многогранников:
1. Единичный куб A...D1
Решение: координаты вершин А (0,0,0), А1(0,0,1), В(1,0,0), В1(1,0,1),
D( 0 ,1 ,0), D1( 0,1,1), С(1,1,0), С1(1,1,1).
2. Правильная треугольная призма A…C1 ,
все ребра, которой равны 1.
Решение: координаты вершин: А (0,0,0),А 1(0,0,1),В(1,0,0),В1(1,0,1),
С(0,5; ,0),С1(0,5; ,1).
3. Правильная шестиугольная призма A...F1, все ребра которой равны 1.
Решение: координаты вершин: А (0,0,0),А 1(0,0,1),В(1,0,0),В1(1,0,1),
С(1,5; ,0),С1(1,5; ,1), D(1, (1, Е(0, , (0, ,
F(-05, 0), (-05, 1).
4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.
Решение: координаты вершин: А (0,0,0),В(1,0,0),С(0,5; ,0), D(0,5,
5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.
Решение: координаты вершин: А (0,0,0),В(1,0,0),С(1,1,0), D(0,1,0 S(0,5;0,5; ).
6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.
III. Решение задач. Решение: координаты вершин: А (0,0,0),
В(1,0,0),С(1,5; ,0), D(1, Е(0, , F(-05, 0), S(0,5; ).
Решение: 1). А (0,0,0), А1(0,0,1), В(1,0,0), В1(1,0,1), D( 0 ,1 ,0), D1( 0,1,1), С(1,1,0), С1(1,1,1).
2). Найдем координаты векторов (1,0,1) и =(0,1,1)
3).Найдем косинус угла между векторами = = ;
?=60. Ответ:60.
Решение:1).координаты вершин А (0,0,0),D1( , ,1),С(0,5; ,0),
Е1( ; ,1).
2). Найдем координаты векторов: и ( , ,1)
3).Найдем косинус угла между векторами = =0,7;
Ответ:0,7.
Решение:1).Введем прямоугольную систему координат А(0,0,0), F(-0,5; ;0), В(1,0,0) и С(1,5; ;0)
2). Найдем координаты векторов: (-0,5; ;0) и (0,5; ;0)
3).Найдем косинус угла между векторами = =0,5; ?=60. Ответ:60.
Ответ:60.
Решение:
1). Координаты: точек В (1,0,0), Е ( , , ); вектора ( ; ; ).
2).Координаты А(0,0,0), D(0,1,0), S( ; ; ), найдем уравнение плоскости (АDS). =0;
=0; =0. Уравнение плоскости:
х- =0, координаты вектора нормали =( - ); = = = ; ответ: .
1).Координаты А(0,0,0), (1,0,1), С( ; ;0), найдем уравнение плоскости (А С). =0;
=0; =0. Уравнение плоскости:
х- =0 т.е х-у- координаты вектора нормали
=( - )
2).Координаты (0,0,1), В (1,0,0), ( ; ;1), найдем уравнение плоскости ( В ). =0; =0; =0. Уравнение плоскости:
- х- + =0, т. е х+у+ координаты вектора нормали
=( ) =( - )
3).
= = = .
Ответ: .
Решение:1). Координаты А(0,0,0),В(1,0,0), (0,1,1). Точка К лежит на В . (-1;1;1)
Если отрезок, концами которого служат точки А( , ),В , ) разделен точкой С(х,у, ) в отношении ?, то координаты точки С определяются по формулам
х = ; у= ; z = .
Х= ; у= ; z= , значит К ( ; ); ). =( ; )
2). =0; + =0, = ; ?= ; К( ; ; .
3). =( ; ; , значит = = .
Ответ:
Решение: координаты вершин:
В(1,0,0), F(-05, 0), G(1; ).
Точка К лежит на В G. (0; )
Если отрезок, концами которого служат точки А( , ),В , ) разделен точкой С(х,у, ) в отношении ?, то координаты точки С определяются по формулам
х = ; у= ; z = .
Х= ; у= ; z= , значит К ( ; )
=( ; )
2). =0; ?=1 ; К(1; ; .
3). =(1,5; ; , значит = = .
Ответ:
Решение: 1). А (0,0,0), А1(0,0,1), В(1,0,0), D( 0 ,1 ,0),
2). Координаты А1(0,0,1), В(1,0,0), D( 0 ,1 ,0), найдем уравнение плоскости ( ). =0;
=0; =0. Уравнение плоскости:
х + =0 т.е х+у + координаты вектора нормали
=( ).
3).Найдем расстояние от точки А до плоскости ) ?= .
Ответ: .
Решение: 1). координаты вершин: А (0,0,0),
В(1,0,0), (0, , F(-05, 0), найдем уравнение плоскости ( ). =0;
=0; =0. Уравнение плоскости:
Х-1) -1,5 =0 т.е х-1,5у + координаты вектора нормали
=( ).
3).Найдем расстояние от точки А до плоскости ) ?= = =
Ответ: .
Решение:1). Координаты А(0,0,0),В(1,0,0), (0,1,1). Точка К лежит на В . (-1;1;1)
Если отрезок, концами которого служат точки А( , ),В , ) разделен точкой С(х,у, ) в отношении ?, то координаты точки С определяются по формулам
х = ; у= ; z = .
Х= ; у= ; z= , значит К ( ; ); ). =( ; )
2). =0; + =0, = ; ?= ; К( ; ; .
3). =( ; ; , значит = = .
Ответ:
Решение: Решение:1). Координаты А(0,0,0), В1(1,0,1), В(1,0,0),С1(1,1,1).
2). В(1,0,0), С1(1,1,1).
Точка К лежит на В , (0;1;1)
Если отрезок, концами которого служат точки А( , ),В , ) разделен точкой С(х,у, ) в отношении ?, то координаты точки С определяются по формулам
х = ; у= ; z = .
Х= ; у= ; z= , значит К ( ; ); пусть q= ,значит
К(1, q, q)
3). А(0,0,0), В1(1,0,1). Точка М лежит на А , (1;0;1)
Если отрезок, концами которого служат точки А( , ),В , ) разделен точкой С(х,у, ) в отношении ?, то координаты точки С определяются по формулам
х = ; у= ; z = .
Х= ; у= ; z= , значит М ( ;0; ); пусть p= ,тогда М(р,0,р); р-1;0- q;р -q )
4). ; =0; - q+р –q=0,
р-1+р –q=0, решив систему, имеем р= ; q= .
5). ; ; ) , значит расстояние между прямыми и
равно = = .
Ответ: