Дата публикации:

02.05.2014 10:44:12

Автор:

Лязина Ирина Владимировна

          Роль задач в обучении очень разнообразна и сложна. Задачи используются и для выработки навыков вычислений и преобразований, и для пространственного воображения, и для показа применений знания, и для других целей, среди которых важное место занимает использование задач для формирования интереса к изучению математики.

            Специальные исследования показывают, что учащихся интересуюткак абстрактные, так и конкретные задачи, лишь бы они были достаточно разнообразны по тематике и способам решения, а также, чтобы они   требовали размышления, догадки, сообразительности. Однако в условиях массового обучения уровень математического развития учащихся одного и того же класса бывает различным и даже в старших классах самостоятельный поиск решений новой задачи доступен только нескольким ученикам. Таким образом, учитель должен основной массе учеников предлагать посильные задачи, с которыми они могу справиться. Только решив задачу, школьник почувствует удовлетворение, желание продолжить работу. Только в этом случае у него может возникнуть интерес. Поэтому невозможно полностью отказаться от решения стандартных задач, их следует использовать в учебных целях, постепенно наращивая их трудность.

          Задачи должны увлекать не только содержанием, но и формой. Одну и ту же задачу можно подать весьма буднично, а можно интригующе. Сравним задачи 1 и 2:

Задача 1. Некоторая величина у, изменяющаяся со временем по закону (дана формула) за t =10 c  увеличилась на 10%. На сколько % она увеличится за последующие 20 с?

Задача 2. Известно, что за период в 40-50 лет скорость роста населения пропорциональна числу жителей в данный момент времени. За 10 лет, которые прошли со времени последней переписи в регионе,  население увеличилось на 10%. Необходимо спрогнозировать, на сколько процентов увеличится население за последующие 20 лет?

              Задачи 1 и 2 это фактически одна и та же задача. Но в первом случае это обычное упражнение, а во втором – творческий поиск. Интерес учащихся проявляется тогда, когда задачи имеют практический выход.

Интересными для учащихся будут следующие задачи:

1. К теме «Рациональные числа»: Пифагор на вопрос о числе его учеников ответил, по преданию, так: «Половина учеников изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины». Сколько было учеников у Пифагора? (Ответ: 28 учеников).
2. К теме «Теорема Пифагора»: Эта задача из трактата «Цзю – чжан» («Десять отделов искусства счета» – древнейший китайский математический трактат, составленный до нашей эры). Бамбуковая трость в 10 футов вышины надломлена. Если пригнуть верхнюю часть к земле, то вершина трости будет отстоять от корня на 3 фута. Какой длины верхняя часть? (Ответ: 5,45 фута).
3. Из трактата «Арифметика» Диофанта Александрийского (3 век): Катет прямоугольного треугольника есть точный куб, другой катет представляет разность между этим кубом и его стороной (т.е. первой степенью), а гипотенуза есть сумма куба и его стороны. Найти стороны. (Ответ: 6,8,10).

Даже самую простую задачу на тему «Сложение» (5 класс) можно сделать более интересной и увлекательной, изменив ее содержание:

Клоун решил подсчитать, сколько зрителей посещало воскресные представления в августе. Он составил таблицу:

          дни                       Число зрителей, посетивших представление                    Всего зрителей

                                        утреннее            дневное                 вечернее

 1 воскресенье                    813                    793                       927                                     2533

2 воскресенье                    779                     856                       908                                    2444

3 воскресенье                    782                     756                       943                                    2472

4 воскресенье                    867                     885                       898                                    2650

Проверьте, правильно ли он подсчитал сумму в каждой строке. Если вы нашли ошибки, то укажите, в каких строках.

            Некоторые учителя считают, что решать занимательные задачи на уроке нецелесообразно. Однако решение занимательных задач не только прививает интерес школьников к математике, но и  формирует определенную гибкость мышления, умение и готовность рассматривать нестандартные и проблемные ситуации.

            У учащихся большой интерес вызывает придание счету или преобразованию необычной формы записи.

Пример 1. Прием умножения двузначных чисел на 11.

                         24*11=2(2+4)4=264                     И аналогично:                    

                         38*11=3(3+8)8=418

Пример 2. Есть разные методики возведения в квадрат чисел (мнемонические приёмы). Учитель может написать на доске несколько примеров и подробное их вычисление и дать школьникам задание: «Посмотрите внимательно на вычисления и сами попытайтесь сформулировать «правило» возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5 (или чисел, близких к 50; или близких к известным квадратам)».

Например:     35^2=30*40+25=1225

                        6,5^2=6*7+0,5^2=42,25

             Во многих задачниках есть так называемые задачи на переливание. Опыт показывает, что именно задачи этого типа вносят большой вклад в зарождение и развитие у учащихся познавательного интереса к изучению математики. Достаточно велик познавательный потенциал рассмотрения таких задач. Возьмем, к примеру, задачу: «В первый сосуд входит 8 л, во второй – 5 л, в третий – 3 л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 л воды? Как отмерить 4 л воды?»

             Условие данной практической задачи очень просто по своему содержанию, оно доступно даже ученикам начальной школы. Математическая содержательность задачи в том, что ее решение знакомит учащихся с последовательными изменениями значений переменной величины (объема воды, находящейся в каждом из трех сосудов). Наконец, решение можно рассматривать как ряд последовательно выводимых заключений.

            При разборе этой задачи на уроке в 5 классе можно несколько изменить основной вопрос задачи, поставив его в наиболее естественной и в более общей форме: «Можно ли  с помощью этих сосудов отмерить какие-нибудь другие целочисленные (в литрах) количества воды?»

Составим табличку данных и используем ее в процессе решения:

1 – й сосуд ( 8 л )         8                     3                    3                   6                  6                  1                      1

2 – й сосуд ( 5 л )         0                     5                    2                   2                  0                  5                      2

3 – й сосуд ( 3 л )         0                     0                    3                   0                  2                  2                      3

Сколько воды в      на 1 этапе    на 2 этапе    на 3 этапе    на 4 этапе    на 5 этапе   на 6 этапе   на 7 этапе

них находится

            Уже на 3 этапе, отлив из 5-литрового кувшина воду  в 3-литровый, получаем остаток, равный 2 л. Одно значение (кроме данных 3 л, 5 л, 8 л) уже получили. На 4 этапе получаем 6 л и, отлив из этого сосуда часть воды в 5-литровый кувшин, получаем 6-5=1 л. На 6 этапе в кувшинах соответственно 1 л, 5 л и 2 л воды.

           Сходны (по рассмотрению ряда промежуточных ситуаций) с задачами на  переливание задачи на затруднительные положения. К примеру, задача: «Два поезда, каждый по 80 вагонов, встретились на одноколейном пути, имеющем небольшую тупиковую ветку. Как разойтись этим поездам, если тупиковая ветка может вместить тепловоз и 40 вагонов? (Поезда могут идти и задним ходом.)»

             Кроме того, в задачниках есть задачи, которые можно объединить под условным названием «Задачи на сообразительность, на внимание». Математический, познавательный, развивающий потенциал таких задач очень велик. Например, такова задача: «Имеется 60 трехметровых бревен, которые надо распилить на полуметровые части. Сколько разрезов придется сделать?» Задача, как говорят, с подвохом, поэтому она приучает различать близкие, но не идентичные понятия числа разрезов и числа частей. Трехметровое бревно можно распилить на 6 полуметровых частей (3:0,5=6), но разрезов будет не 6, а на 1 меньше, т.е. 5, что хорошо видно, если сделать рисунок. Всего разрезов сделано в 60 раз больше: 5*60=300 (разрезов).

            Многие школьники, не любящие математику, указывают причину – «на уроках скучно, не интересно». Для снятия этого фактора, отрицательно влияющего на формирование познавательного интереса, следует предложить учащимся такие задачи, решение которых требует от них поисковой и исследовательской самостоятельности. Эти задачи должны быть такими, чтобы их содержательная сторона и процесс решения вызывали бы у учащихся внутренний положительный отклик, делали саму учебную деятельность приятной и увлекательной.

             Уместно в связи с этим напомнить известную мысль Д. Пойа, сравнившего учителя математики с продавцом, который на каждом уроке должен «продавать немножко математики». А чтобы «продать математический товар», ученика надо заинтересовать. Приведем соответствующие задачи:

Задача 1. Найдите ошибку в следующих рассуждениях:

«Докажем, что 4 = 5».

                          16 – 36 = 25 - 45

                          16 – 36+ 81/4= 25 - 45+81/4

                           4^2-2*4*9/2+(9/2)^2=5^2-2*5*9/2+(9/2)^2

                           (4-9/2)^2=(5-9/2)^2

                           4-9/2=5-9/2

                           4 = 5

Задача 2. Некий фермер выяснил, что его корова и коза съедают на лужайке траву за 45 дней, корова и гусь — за 60 дней, а коза и гусь — за 90 дней. Если он выпустит одновременно на поле корову, козу и гуся, то за сколько дней они съедят на лужайке всю траву?

Сэр Исаак Ньютон в свое время показал, как следует решать головоломки, в которых трава на лугах не прекращает расти. Однако в нашей головоломке ради большей простоты мы примем, что из-за неблагоприятных погодных условий трава расти перестала.

Ответ. Так как корова и коза в день съедают 1/45, корова и гусь 1/60 и коза с гусем 1/90 всей травы в день, мы легко находим, что корова съедает 5/360, коза 3/360 и гусь 1/360 всей травы в день. Следовательно, все вместе они съедают в день 9/360 (или 1/40) всей травы, так что, поскольку прироста травы не будет, всю траву они съедят за 40 дней.

        Вывод из всего вышесказанного таков:  разнообразие форм работы на уроке повышает активность учащихся на уроке, которая, в свою очередь, является главным показателем возникновения интереса к предмету.