Школьная алимпиада по математике 8 класс
- Дата публикации:
- Автор:
- Волостнова Ирина Александровна
Школьная олимпиада по математике 8 класс
1. Вычислите 6* 525 – 8* 2512
523
Решение: 6* 525 – 8* 2512 6* 525 – 8*524 524 * ( 6*5 - 8) 5*22 = 110
523 5 23 523
2. Двузначное число в сумме с числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке даёт квадрат натурального числа. Найдите все такие двузначные числа.
Решение: ab = 10a + b, где 1<a<9, 0 <b<9,
тогда ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11(a +b) – квадрат натурального числа , a+b=1.
a и b - цифры двузначного числа: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.
3. Решите уравнение х2 + ( 1 – x)2 = x
Решение: х2 + ( 1 – x)2 = x
(1 – х)2 = х – х2
(1 - х)2 = х(1 - х)
(1 - х)2 - х(1 - х)
(1 - х)(1 – х – х) = 0
(1 - х)(1 – 2х) = 0
х = 1 или х = 1/2
Ответ: 1; 1/2
4. В связи с кризисом зарплата сотрудников фирмы понизилась на 1/5. На сколько процентов следует её повысить, чтобы она достигла прежнего значения ?
Решение: Пусть до кризиса было х рублей, тогда после кризиса -- 4/5х рублей.
Чтобы зарплата достигла прежнего уровня надо увеличить её в 5/4 раза, т.е на ? или 25%.
Ответ: 25%
5. На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки P и Q так, что угол РХВ равен углу QХС, где Х - середина основания ВС. Докажите, что BQ = СР.
Решение: Докажем, что ВQ = СР
1) СХQ = ВХР по стороне и двум прилежащим к ней углам
2) СQ = ВР, тогда СВР = СВQ, так как С = В, а СВ –
общая , значит ВQ = СР.